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下卷前言
 
下卷　幾何變分法
 
篇七　均曲率幾何的基礎
第22章　流形上的變分
第23章　最小曲面的穩定性
 
篇八　Plateau與Bernstein問題
第24章　Plateau問題
第25章　Bernstein問題
第26章　Plateau與Bernstein問題
 
篇九　均曲率方程
第27章　毛細方程與均曲率
第28章　Hopf猜想與Alexandrov對稱法
第29章　Convexity與大凹陷定理
第30章　cmc上的Jacobi場與Morse Index定理
 
衍篇　延伸閱讀
CMC曲面及其應用（王藹農）
從一個方程式談起（王慕道）
曲線與幾何分析（林俊吉）
 
全書參考文獻
全書索引
 

下卷前言（摘錄）

　　下卷的主題是幾何變分學。含三篇

　　篇七　均曲率幾何的基礎
　　篇八　Plateau與Berstein問題
　　篇九　均曲率方程

　　共九章，即Ch.22-30。

　　如前所述，微分幾何處理的主要對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念，例如向量場的共變微分與曲率張量，並藉由彎曲空間中測地線的變分，來探測彎曲空間大域的幾何性質，例如對正、負曲率空間，分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。

　　1. 幾何變分學的鋪陳

　　二十世紀中期之後，幾何分析(Geometric Analysis)成為幾何學研究的主流。

　　它涵蓋甚廣，活潑、複雜而深刻。幾何變分學只是其中的一支。我們選幾何變分學作為下卷的主題，主要因為它的提問，自然而有趣。同時它與幾何分析的基礎概念相通。像Hopf最大原理(maximum principle)、比較原理(comparison principle)、流形上的變分、最小曲面及常均曲率曲面的穩定性、stability operator的特徵值、絕對最小與calibration、Sobolev函數、值譜定理、…等，都是幾何分析必要的基礎概念。這些全放進了書的下卷。

　　幾何變分學中很多經典的idea與貢獻，則為下卷探討的主題，例如：Laplace的毛細估計、Plateau問題、Bernstein問題、迷人的Hopf猜想、與凸性問題等。

　　在下卷的開始，即篇七Ch.22、Ch.23兩章，我們談均曲率的一些基礎概念，但同時鋪陳一些自然的問題。例如Ch.22中，談曲面積的絕對最小、引入calibration、作出ℝ4中的Plateau解；又從二階變分的計算，證明了Barbosa-do Carmo有趣的定理：ℝn+1中的封閉區面Mn，若均曲率為常數(簡稱cmc = constant mean curvature)，而且為穩定(stable)，則Mn必為球面。這個所謂stable sphere theorem，其實是1950-1980年間許多幾何學家在思考Hopf猜想(Hopf's conjecture)時，分出去的一條軌跡。

　　Ch.23也一樣，在探討最小曲面的穩定性這條自然的脈絡中，我們介紹了Jacobi場，Sobolev空間，並證明一般的值譜定理(spectrum theorem)。然後我們以特徵值的估計，證明了鼓面愈大，聲音愈低沉；而且在鼓面面積相同的情況下，證明：鼓面愈對稱，聲音愈低沉。同時，我們把這些有趣的古典分析，與現今的問題相連結。

　　2. Plateau與Bernstein問題

　　Plateau問題與Bernstein問題的交會，是1960-70年代幾何界的大事。下卷篇八，三章(Ch.24-26)集中在訴說這個故事。著名的Plateau問題是古典問題，1930年代Jesse Douglas有突破性的進展，他用「三定點手法」成功的控制面積泛函的minimizing sequence，使其極限成為Plateau solution。我們用Ch.24一整章，完整的敘述他原創性的證明。然後我們進入1960年代之後最小曲面的極盛時期，細說那時期幾何學界蓬勃綻放的美麗花朵。

　　Plateau問題的起源，是在答覆這樣的問題：給定ℝ3中的一條封閉曲線，有沒有以這曲線為邊界，而面積為絕對最小的曲面（稱為Plateau解）？又如果有解，解曲面有否奇點？Bernstein問題則為：在ℝ2上全定義的minimal graph（即表成u=u(x), x ∈ℝ2），是否必為平面？Bernstein定理就某種意義來說，可以說是一種非線性的Liouville定理。

　　有趣的是，Plateau解曲面有沒有奇點，與Bernstein定理對不對，是同一件事。[Ch.25]。如果我們躲進Plateau solution那奇點的無限小鄰域，去看Plateau的解曲面，我們會看到一個cone（錐面）。相應的，如果我們跑到無限遠處，回頭看Bernstein解曲面，也會看到一個cone。

　　於是問題轉化成：「在ℝN空間中，除超平面之外，是不是存在minimal cone？」的問題。亦即：是不是有這樣一個面積為絕對最小的錐面(稱之為minimal cone)，它不是ℝN-1？若有，則Plateau solution有奇點，Bernstein定理也跟著不對。若沒有，則Plateau solution為regular（沒有奇點），Bernstein定理正確。

　　這是兩個問題美麗的交會。

　　3. 意大利學派

　　藉Ch.25，我們先介紹Bernstein問題的古典背景，亦即在最簡單的ℝ2上考慮minimal graph，並用Chern的觀點，把最小曲面的metric改造[見Ch.25(12)式]，將問題歸結為Liouville定理。隨後我們進入1960年代最小曲面論的highlight：James Simons對兩問題交會所做的貢獻；然後用活動標架法估計第二基本式，而得到維數不大於6，不會有平面之外的minimal cone。藉Ch.26，我們進入意大利學派Bombieri與de Giorgi的世界，引入BV函數(functions of bounded variation)，延伸Bernstein定理到7維，建構ℝ8中非平面的minimal cone S3(1/√2) x S3(1/√2)＄，並給出8維以上著名而深刻的反例。另外，1970年代Schoen-Simon-Yau直接估算第二基本式，一方面標誌活動標架法的威力，另一方面開啟幾何分析的研究，把幾何與分析做緊密而漂亮的結合，這工作也放在Ch.26，作為篇八的結束。

　　4. 毛細液面

　　篇九從Young-Laplace-Gauss對毛細液面的貢獻談起。1805年Thomas Young導出：液面的內外壓力差為均曲率(mean curvature)的常數倍[Ch.27(01)式]。同時，Laplace觀察到：液面的均曲率，與液柱的高度成正比[Ch.27(4)式]。他們的工作開啟了毛細液面與均曲率的研究。我們知道在無重力的狀態下，毛細液面的均曲率必為常數，亦即必為cmc（常均曲率曲面）。

　　對於Young-Laplace方程[Ch.27，(04)及(05)兩式]，Gauss用虛功原理(virtual work)加以證明，打開變分學的一頁。在Ch.27，我們用現代語言重新詮釋這些，並建立普遍的理論架構，據此深入毛細液面（包含cmc）及相關曲面的探討。

　　毛細現象有很多有趣的問題，例如一棵樹為什麼可以把土壤裡的水分吸到樹頂？根據早先Laplace的計算，以現有導管的粗細，毛細現象最高只能把水分吸到＄10＄英尺[Ch.27(31)式]。但很多樹都遠高於10英尺。植物學者認為原因是：葉面水分蒸發具有真空吸力的效果。可是很多溫帶的大樹，冬天葉子都掉光，地裡的水分如何被吸到樹頂？使的樹木存活？Robert Finn給出了答案：因為樹幹中導管的橫截面，實際上不是圓形（如Laplace所假設），而是偏向六角形。秘密就在那些角，當角夠小時，毛細液面會以1⁄r的速率爬升。

　　這樣的例子揭示我們必須正視毛細液面的複雜性。接連很多問題都與毛細液面的幾何有關。

　　當重力越小，管壁對液面分子的吸附力（或排斥力）的影響越大，液面越變化多端。尤其當重力越小時，液面的幾何越豐富。例如有趣的凸性問題，見Finn-Korevaar [Ch.27，定理4]與Chen-Huang [Ch.27，定理5、6}]。

　　又例如一個封閉的容器，裡面除了留有一些空隙之外，幾乎注滿水，把容器拿到太空中，這時空隙會變成什麼樣子？是不是一個球狀？答案是對的（當然也可能是n個球狀）。理由是：這時空隙的邊界是常均曲率的液面。Alexandrov在1956年證明任何一個安裝（embedded，或譯為鑲映）於ℝn+1中的n維封閉曲面Mn，若均曲率定常（即cmc），則必為球狀[Ch.28，定理2]。

　　但embedding這個拓樸條件是否必要？例如：假定（cmc的）Mn不限定embed（鑲映），而只知immersed（浸映）於ℝn+1中呢？這就是著名的Hopf猜想(conjecture)。Hopf自己證明了：M2若與球面S2同胚，則浸映的cmc M2只能是標準球面。然後是一些有趣的努力：例如前述Barbosa-do Carmo [Ch.21]的穩定球定理，與項武義(Wu-Yi Hsiang)四維空間ℝ4中的反例。1983年，Wente終於證明了Hopf猜想不對：在ℝ3中存在很多cmc環面的反例。

　　篇九前兩章[Ch.27-28]，把Hopf's differential與Alexandrov的對稱化方法分別做了介紹，並得出他們的定理。在衍篇中，我們附上王藹農簡介Wente環面的幾何。

　　5. cmc的幾何

　　篇九的後兩章(Ch.29-30)，與本書作者的工作有關，例如：凸性問題、大凹陷定理與Jacobi場的分佈。

　　1950-1983年間，幾何學家會支持Hopf猜想，其直覺的理由是：cmc封閉曲面＄M＄似乎不能有凹陷（指Gauss曲率為負的地方）。如果這個直覺是對的，那麼由Hadamard定理，M必然圍出一個convex body，亦即M鑲映於ℝ3中，因此根據Alexandrov定理，M必為球形。

　　Wente的眾多反例，告訴我們上述的直覺是錯的：M確實有凹陷。Huang-Lin（我與林俊吉）的大凹陷定理，在釐清上述直覺成立的範圍。它說，如果範圍不大，cmc封閉曲面確實不能有凹陷。換句話說，它若有凹陷，凹陷的範圍必須很大，至少包含一個extremal domain。

　　任何一個domain都可以一直拓廣到成為extremal [即λ1(M)=0，見Ch.29，§2]，extremal domain是相當大的面域，例如M中的一塊面域，若為non-parametric（即可以表成u=u(x), x ∈ℝ2時），它都比extremal domain小。可見cmc曲面凹陷的範圍很大。大凹陷定理的證明，也支持早先我對凸性問題的主張：1970-80年代Brascamp-Lieb、Caffarelli-Friedman、Finn、Korevaar、Chen-Huang、Shih等人處理的凸性問題，關鍵在於：問題是不是well-posed？

　　亦即，當我們期望在凸區域(convex domain)上的任何一個橢圓方程解，本身也是convex時，邊界條件不能加在零階(Dirichlet)，或一階(capillary或Neumann)，而應加在二階[Ch.29}，§1}]。

　　另外，在cmc曲面上的一個domain D(t)隨著時間t，從一個點鄰近的小小範圍連續加大，記成{D(t), 0≤t
　　在篇九Ch.30，亦即，在本書的最後一章，我們把這問題與Morse index定理連結起來，一如在測地線的情況一樣（最簡單的一維測地線，現在變成二維以上的cmc曲面）。本章的主要結果是：介於＄D[λk-1=0]與＄D[λk=0]之間，必有非零的Jacobi場出現過，而且其重數(multiplicity)可以控制。[Ch.30}，Thm.8]。

　　這問題遠比測地線上的Jacobi場的分佈複雜，因場域不再是一維的測地線，而是高維的曲面，況且是有體積制限(volume constraint)的cmc曲面。勻滑的C∞-手法，不適合應付這問題。我們必須把C∞-架構提升為Sovolev架構。Ch.23曾經考慮Sobolev函數空間，據此證明值譜分析定理。現在我們必須縝密的經營Sobolev的理論，看到它生動而成功的解決C∞-架構中自然的提問，才知Sobolev理論的精緻。為了這項工作，我又耗掉一年多的時間研究並寫完第30章。